Question

1．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若點H在x軸上運動，當以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點H的坐標；
（4）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）將A、C兩點的坐標代入y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c，得到關(guān)于a、c的二元一次方程組，解方程組求出a、c的值，即可求得拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點B的坐標，再計算得出AB²+AC²=BC²，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（3）設(shè)點H的坐標為（n，0），得出AC²=80，AH²=n²+16，HC²=（n-8）²=n²-16n+64．當以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時，分三種情況進行討論：①AH=AC；②HC=AC；③AH=HC；分別列出關(guān)于n的方程，解方程即可；
（4）設(shè)點N的坐標為（t，0），那么BN=t+2，過M作MD⊥x軸于點D．根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{BM}{BA}$=$\frac{MD}{AO}$=$\frac{BN}{BC}$，求出MD=$\frac{2}{5}$（t+2），再根據(jù)S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN，得出S_△AMN=-$\frac{1}{5}$（t-3）²+5，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的圖象過點A（0，4），C（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{64a+12+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
∴當y=0時，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，
解得x₁=8，x₂=-2，
∴點B的坐標為（-2，0）．
在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²=4²+2²=20，
在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=4²+8²=80，
∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中，AB²+AC²=20+80=100=10²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）設(shè)點H的坐標為（n，0），則AC²=80，AH²=n²+16，HC²=（n-8）²=n²-16n+64．
當以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時，可分三種情況：
①如果AH=AC，那么n²+16=80，解得n=±8（正值舍去），
此時點H的坐標為（-8，0）；
②如果HC=AC，那么（n-8）²=80，解得n=8±4$\sqrt{5}$，
此時點H的坐標為（8+4$\sqrt{5}$，0）或（8-4$\sqrt{5}$，0）；
③如果AH=HC，那么n²+16=n²-16n+64，解得n=3，
此時點H的坐標為（3，0）；
綜上所述，若點H在x軸上運動，當以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時，點H的坐標分別為（-8，0）、（8-4$\sqrt{5}$，0）、（3，0）、（8+4$\sqrt{5}$，0）；

（4）設(shè)點N的坐標為（t，0），則BN=t+2，過M作MD⊥x軸于點D．
∵MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{MD}{AO}$，
∵NM∥AC，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{BN}{BC}$，
∴$\frac{MD}{AO}$=$\frac{BN}{BC}$，
∵AO=4，BC=10，BN=t+2，
∴MD=$\frac{2}{5}$（t+2），
∴S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN
=$\frac{1}{2}$BN•OA-$\frac{1}{2}$BN•MD
=$\frac{1}{2}$×（t+2）×4-$\frac{1}{2}$×（t+2）×$\frac{2}{5}$（t+2）
=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t+$\frac{16}{5}$
=-$\frac{1}{5}$（t-3）²+5，
∴當t=3時，△AMN面積最大，此時點N的坐標為（3，0）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論以及方程思想是解題的關(guān)鍵．