Question

2．如圖所示，直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AB，∠D=90°，點(diǎn)E為直線DC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE，作EF⊥AE交A線CB于F．
（1）若點(diǎn)E為線段DC的中點(diǎn)．如圖甲．
①求證；AE=EF；
②延長EF交AB延長線于點(diǎn)G，如圖乙，求證：四邊形BGCE是平行四邊形．
（2）①若點(diǎn)E在線段CD的延長線上，如圖丙．問結(jié)論AE=EF是否成立？
②若點(diǎn)E在線段DC的延長線上，如圖丁，問結(jié)論AE=EF是否成立？

Answer 1

分析 （1）①如圖甲，連接AC，過C作CH⊥AB于H，于是得到四邊形ADCH是正方形，求得CH=AH=CD=$\frac{1}{2}$AB，推出△ACD是等腰直角三角形，得到∠ACD=45°，過點(diǎn)E作EM⊥CD交AC于M，則△CEM是等腰直角三角形，得到∠AME=180°-45°=135°，CE=ME，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=CF，得到△ACB是等腰直角三角形，求得AC=BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CF=$\frac{1}{2}$BF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF=GF，于是得到四邊形BGCE是平行四邊形；
（2）①成立，如圖丙，過E作EM⊥CA交CA的延長線于M，得到△CEM是等腰直角三角形，得到∠M=45°，CE=ME，由（1）證得∠B=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FCD=∠B=45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
②如圖丁，過E作EM⊥CD交AC的延長線于M，得到∠M=45°，由（1）證得△ACB是等腰直角三角形，證得∠AMN=∠FCE=45°，得到CE=EM根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①如圖甲，連接AC，過C作CH⊥AB于H，
則四邊形ADCH是正方形，
∴CH=AH=CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BH=CH，
∴∠B=45°，
∵∠D=90°，AD=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
過點(diǎn)E作EM⊥CD交AC于M，則△CEM是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，CE=ME，
∵∠B=45°，DC∥AB
∴∠FCE=180°-45°=135°，
∴∠AME=∠FCE=135°，
∵∠D=90°，EM⊥CD，
∴AD∥EM，
∴∠AEM=∠DAE，
∴∠AEM=∠CEF，
在△AEM和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠CEF}\\{CE=ME}\\{∠AME=∠FCE}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△FCE（ASA），
∴AE=EF；
②∵△AEM≌△FCE
∴AM=CF，
∵AH=CH=BH=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ACB=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵點(diǎn)E為線段DC的中點(diǎn)，EM∥AD，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC，
∴CF=$\frac{1}{2}$BF，
∵CD∥AB，
∴CE∥BG，
∴∠CEF=∠G，
在△ECF與△GBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠G}\\{∠EFC=∠BFG}\\{CF=BF}\end{array}\right.$G
∴△CEF≌△BMF，
∴EF=GF，
∵CF=BF，
∴四邊形BGCE是平行四邊形；

（2）①成立，如圖丙，過E作EM⊥CA交CA的延長線于M，
則△CEM是等腰直角三角形，
∴∠M=45°，CE=ME，
由（1）證得∠B=45°，
∵CD∥AB，
∴∠FCD=∠B=45°，
∴∠M=∠ECF，
∵EF⊥AE，
∴∠MEC=∠AEF=90°，
∴∠MEA=∠CEF，
在△AEM和△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠CEF}\\{CE=ME}\\{∠AME=∠FCE}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△FCE（ASA），
∴AE=EF；
②成立，
如圖丁，過E作EM⊥CD交AC的延長線于M，
∵CD=AD，∠D=90°，
∴∠MCE=∠ACD=45°，
∴∠M=45°，
由（1）證得△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴∠AMN=∠FCE=45°，
∵∠ACB=∠AEF=90°，∠ANC=∠ENF，
∴∠MAE=∠CFE，
∵∠M=∠MCE=45°，
∴CE=EM，
在△AME與△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠FCE}\\{∠MAE=∠F}\\{EM=CE}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△FCE，
∴AE=EF．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的直線輔助線是解題的關(guān)鍵．