Question

5．如圖，BD是等腰直角△ABC的腰AC上的中線，AE⊥BD交BD、BC于E、F，
求證：（1）∠ABD=∠CAF；
（2）∠ADB=∠CDF．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC為直角，得到其他兩銳角互余，又根據AE與BD垂直，得到三角形ADF為直角三角形，故兩銳角也互余，根據同角的余角相等即可得證；
（2）過A、D分別做BC的垂線，設AG的長為1，得出與之相關聯(lián)的線段的長度，進而利用角的正切值相等得出∠DBH=∠FDH，即可得出結論．

解答 證明：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠ADF=90°，
又AE⊥BD，∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠ABD=∠CAF；
（2）過A、D分別做BC的垂線，垂足分別為G、H．
設AG=1，那么CG=1，DH=$\frac{1}{2}$，BH=$\frac{2}{3}$，
tan∠DBH=$\frac{1}{3}$，
又∵∠GAF=∠DBH，
∴GF=$\frac{1}{3}$AG=$\frac{1}{3}$，
FH=GH-GF=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
tan∠FDH=$\frac{FH}{DH}$=$\frac{1}{3}$，
∴∠DBH=∠FDH
∵∠ADB=∠DBH+∠C，
∠CDF=∠FDH+∠CDH，
∴∠ADB=∠CDF

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質以及由正切值判定兩個角相等，無論是證明還是計算題，都應該從不同角度思考，利用已學知識熟練求解．