Question

如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，當點D位于何處時，△EFD的面積最�。�

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：求出△ADF≌△BED≌△CFE，設等邊三角形ABC的邊長為a，設BD=x，求出高AM和DN，根據(jù)三角形的面積公式即可得出二次函數(shù)解析式，求出最值即可．

解答：解：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
過A作AM⊥BC于M，過D作DN⊥BC于N，
設等邊三角形ABC的邊長為a，設BD=x，
在Rt△ABM和Rt△BDN中，AM=AB×sin60°=

3

2

a，DM=BD×sin60°=

3

2

x，
則S_△EFD=S_△ABC-3S_△BDE
=

1

2

×BC×AM-

1

2

×BE×DN
=

1

2

•a•

3

2

a-

1

2

•（a-x）•

3

2

x
=

3

4

x²-

3

4

ax+

3

4

a²，
∵

3

4

＞0，開口向上，有最小值，
當x=-

- 3 4 a

2× 3 4

=

1

2

a時，△EFD的面積最小，
即當點D位于AB的中點上時，△EFD的面積最�。�

點評：本題考查了三角形的面積，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)的應用，解此題的關鍵是得出二次函數(shù)的解析式．