Question

9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，∠ABC平分線交邊AC于點E，交CD于F，過點F作FG∥AB，交邊BC于點G，連結ED，GD．求證：$\frac{CE}{CD}$=$\frac{BG}{BD}$．

Answer 1

分析 根據(jù)FG∥AB，得到△CFG∽△CDB，推出$\frac{CF}{CD}=\frac{FG}{BD}$，由平行線的性質得到∠BFG=∠FBD，由角平分線的定義得到∠FBG=∠FBD，于是得到△GFB是等腰三角形，F(xiàn)G=BG，由已知條件得到∠CFG=90°，求得∠CFE=180°-∠CFG-∠BFG=90°-∠FBG，證得∠CEB=∠CFE，得到CE=CF，等量代換即可得到結論．

解答 證明：∵FG∥AB，
∴△CFG∽△CDB，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{FG}{BD}$，
∵FG∥AB，
∴∠BFG=∠FBD，
∵BF是∠ABC的平分線，
∴∠FBG=∠FBD，
∴∠FBG=∠BFG，
∴△GFB是等腰三角形，F(xiàn)G=BG，
∵AB⊥CD，F(xiàn)G∥AB，
∴∠CFG=90°，
∴∠CFE=180°-∠CFG-∠BFG=90°-∠FBG，
在△ABE中，∠BCE=90°，
∴∠CEB=180°-∠BCE-∠EBC=90°-∠EBC，
∴∠CEB=∠CFE，
∴CE=CF，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{BG}{BD}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和，角平分線的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．