Question

【問題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖①，△ABC為直角三角形，∠B=90°，P是邊AB上任意一點（不寫A、B重合），請你在△ABC的邊長找另一點Q，使得S_△BCP=S_△BCQ，并簡要說明方法；
（2）如圖②，△ABC為等腰三角形，∠B=90°，AB=10，F(xiàn)是邊AC上任意一點（不與A、C重合），EF⊥AB，F(xiàn)G⊥BC，試判斷圖中△AEF、△CGF、四邊形BEFG的具體形狀；（直接寫出答案）．
【問題探究】
（3）在（2）的條件下研究：F在邊長AC上移動時，四邊形BEFG的周長是否發(fā)生改變，并說明理由；（不妨設AE=x）
（4）在（2）的條件下研究：F在邊AC上移動時，四邊形BEFG的面積是否存在最大值？若存在，求出來；若不存在，說明理由．（提示：我們知道完全平方式具有非負性，即（a+b）²≥0，顯然（a+b）²有最小值．例如：對于y=x²+2x+2=（x+1）²+1≥1，那么y有最小值1）．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過點P作PQ∥BC，交AC于Q，連接PQ即可；
（2）根據(jù)EF⊥AB，F(xiàn)G⊥BC，∠B=90°，可直接得出四邊形BEFG是長方形；
（3）先求出AE=EF，再根據(jù)四邊形BEFG的周長=2（EF+BE）=2（AE+BE）=2AB得出四邊形BEFG的周長總是20，不會發(fā)生改變；
（4）設AE=x（0＜x＜10），則BE=10-x，EF=x，得出S_{長方形BEFG}=BE•EF=-（x-5）²+25，從而得出當x=5時，有最大值25．

解答：解：（1）過點P作PQ∥BC，交AC于Q，連接PQ，
∵PQ∥BC，
∴△BCQ和△BCP同底等高，
∴S_△BCP=S_△BCQ；
（2）∵EF⊥AB，F(xiàn)G⊥BC
∴∠BEF=90°，∠BGF=90°，
∵∠B=90°，
∴四邊形BEFG是長方形；
（3）F在邊長AC上移動時，四邊形BEFG的周長不會發(fā)生改變．理由如下：
∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠A=∠AFE=45°，
∴AE=EF，
∴四邊形BEFG的周長=2（EF+BE）=2（AE+BE）=2AB=2×10=20，
∴F在邊長AC上移動時，四邊形BEFG的周長總是20，不會發(fā)生改變；
（4）由（3）可得知：AE=EF，AB=10
設AE=x（0＜x＜10），則BE=10-x，EF=x
∵S_{長方形BEFG}=BE•EF=x（10-x）=10x-x²=-（x-5）²+25，
∴當x=5時，有最大值，
S_最大值=25
答：F在邊AC上移動時，四邊形BEFG的面積有最大值，最大值是25．

點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是三角形的面積、二次函數(shù)的最值、矩形的判定與面積、等腰直角三角形，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，列出表示長方形面積的式子．