Question

14．如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點P在射線AC上運動，過點P作PH⊥AB，垂足為H．
（1）直接寫出線段AC、AD及⊙O的半徑的長；
（2）設(shè)PH=x，PC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）只需運用勾股定理就可求出AC，只需運用三角形的面積公式就可求出Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑，只需運用切線長定理就可求出AD長；
（2）由于點P在射線AC上，需分點P在線段AC上和在線段AC的延長線上兩種情況討論，只需運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．

解答 解：（1）AC=4、AD=3，⊙O的半徑為1．
提示：設(shè)⊙O的半徑為r，
∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴AC=4．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×（3+4+5）r，∴r=1．
設(shè)AD=m，根據(jù)切線長定理可得AF=AD=m，BE=BD=5-m，CE=CF=4-m，
∴BC=5-m+4-m=3，
解得m=3，
則AD=3；
（2）①當(dāng)點P在線段AC上時，
∵PH⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠AHP=∠ACB=90°．
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△CB，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{4-y}{5}$，
∴y=-$\frac{5}{3}$x+4．
當(dāng)y=0時，x=$\frac{12}{5}$，
∴0≤x≤$\frac{12}{5}$．
②當(dāng)點P在線段AC的延長線上時，
同理可得y=$\frac{5}{3}$x-4，x＞$\frac{12}{5}$．
綜上所述：當(dāng)0≤x≤$\frac{12}{5}$時，y=-$\frac{5}{3}$x+4；當(dāng)x＞$\frac{12}{5}$時y=$\frac{5}{3}$x-4．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線長定理、勾股定理、三角形的面積公式等知識，運用分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵．