Question

20．在一個三角形中，如果一個角是另一個角的2倍，我們稱這種三角形為倍角三角形．
如圖1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的對邊分別記為a，b，c，倍角三角形的三邊a，b，c有什么關系呢？讓我們一起來探索．

（1）我們先從特殊的倍角三角形入手研究，請你結合圖形填空：

三角形	角的已知量	$\frac{a}$	$\frac{b+c}{a}$
圖2	∠A=2∠B=90°	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
圖3	∠A=2∠B=60°	$\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$

（2）如圖1，對于一般的倍角△ABC，∠A、∠B、∠C的對邊分別記為a，b，c，若∠A=2∠B，那么a，b，c三邊有什么關系呢？請你作出猜測，并加以證明；
（3）若一等腰△ABC恰好是一個倍角三角形，且有一邊長為6，請直接寫出所有符合條件的△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）圖2的三角形，顯然是等腰直角三角形，可設斜邊c為2，那么a=b=$\sqrt{2}$，即可求得的值，圖3的解法同上．
（2）由（1）的結論，可猜測a、b、c的等量關系應該是$\frac{a}=\frac{b+c}{a}$，可通過構造相似三角形來證明；延長CA至D，是得AD=AB；那么∠CAB=2∠A=2∠CBA，再加上公共角∠C，即可證得△CBD∽△CAB，由此得到所求的結論．
（3）分兩種情況根據(jù)（2）的結論直接計算即可．

解答 解：（1）如圖2
∵∠A=2∠B=90°，
∴∠B=45°，
∴∠C=45°，
∴a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c，
∴$\frac{a}=\sqrt{2}$，$\frac{b+c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}a}{a}$=$\sqrt{2}$，
如圖3，∵∠A=2∠B=60°，
∴∠B=30°，
∴∠C=90°，
∴b=$\frac{1}{2}$c，a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴$\frac{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c}{\frac{1}{2}c}$=$\sqrt{3}$，$\frac{b+c}{a}=\frac{\frac{1}{2}c+c}{\frac{\sqrt{3}}{2}c}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，
（2）猜測：$\frac{a}=\frac{b+c}{a}$，
理由：如圖1，

延長CA至D，使AD=AB，
∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，
∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，
∵∠CAB=2∠CBA，
∴∠D=∠CBA，
又∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴$\frac{CB}{CA}=\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{a}=\frac{b+c}{a}$，
（3）∵△ABC是等腰三角形，不妨設∠A是頂角，則∠B=∠C是底角，
∵△ABC恰為一個倍角三角形，
∴∠A=2∠B或∠B=2∠A，
①當∠A=2∠B時，
∴∠A=90°，∠B=∠C=45°，
Ⅰ、當AB=6時，則AC=AB=6，BC=6$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周長為12+6$\sqrt{2}$，
Ⅱ、當CB=6時，則AB=AC=3$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周長為6+6$\sqrt{2}$，
②當∠B=2∠A時，根據(jù)三角形的內角和得，∠A=36°，∠B=∠C=72°，
Ⅰ、當AB=6時，則AB=AC=6，
∴由（2）知，BC=-3+3$\sqrt{5}$，
∴△ABC的周長為9+3$\sqrt{5}$，
Ⅱ、當BC=6時，
∴由（2）知，AB=AC=3+3$\sqrt{5}$，
∴△ABC的周長為12+6$\sqrt{5}$，
即：△ABC的周長為12+6$\sqrt{2}$，6+6$\sqrt{2}$，9+3$\sqrt{5}$，12+6$\sqrt{5}$．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，含30°的直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，利用相似三角形的性質得出（2）的結論是解本題的關鍵，要注意的是（3）題的情況較多，一定要分類討論，不要漏解．