Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點P（0，4），點A在線段OP上，點B在x軸正半軸上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB為邊在第一象限內作正方形ABCD；過點C、D依次向x軸、y軸作垂線，垂足為M，N，設過O，C兩點的拋物線為y=ax²+bx+c．
（1）填空：△AOB≌△

 

≌△BMC（不需證明）；用含t的代數(shù)式表示A點縱坐標：A（0，

 

）；
（2）求點C的坐標，并用含a，t的代數(shù)式表示b；
（3）當t=1時，連接OD，若此時拋物線與線段OD只有唯一的公共點O，求a的取值范圍；
（4）當拋物線開口向上，對稱軸是直線x=2-

1

2t

，頂點隨著t的增大向上移動時，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得：△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC；根據(jù)圖中相關線段間的和差關系來求點A的坐標；
（2）利用（1）中的全等三角形的對應邊相等易推知：OM=OB+BM=t+4-t=4，則C（4，t）．把點O、C的坐標分別代入拋物線y=ax²+bx+c可以求得b=

1

4

t-4a；
（3）利用待定系數(shù)法求得直線OD的解析式y(tǒng)=

4

3

x．聯(lián)立方程組，得

y=ax2+( 1 4 -4a)x y= 4 3 x

，所以ax²+（-

13

12

-4a）x=0，解得 x=0或x=4+

13

12a

．對于拋物線的開口方向進行分類討論，即a＞0和a＜0兩種情況下的a的取值范圍；
（4）根據(jù)拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+（

t

4

-4a）x得到頂點坐標是（-

t

8a

，-

1

64a

（t-16a）²）．結合已知條件求得a=

1

4

t²，故頂點坐標為（2-

1

2t

，-（t-

1

4

）²）．喲拋物線的性質知：只與頂點坐標有關，故t的取值范圍為：0＜t≤

1

4

．

解答：解：（1）如圖，∵∠DNA=∠AOB=90°，
∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．
在△AOB與△DNA中，

OB=NA ∠OBA=∠NAD AB=DA

，
∴△AOB≌△DNA（SAS）．
同理△DNA≌△BMC．
∵點P（0，4），AP=t，
∴OA=OP-AP=4-t．
故答案是：DNA或△DPA；4-t；

（2）由題意知，NA=OB=t，則OA=4-t．
∵△AOB≌△BMC，
∴CM=OB=t，
∴OM=OB+BM=t+4-t=4，
∴C（4，t）．
又拋物線y=ax²+bx+c過點O、C，
∴

c=0 t=16a+4b+c

，
解得 b=

1

4

t-4a；

（3）當t=1時，拋物線為y=ax²+（

t

4

-4a）x，NA=OB=1，OA=3．
∵△AOB≌△DNA，
∴DN=OA=3，
∵D（3，4），
∴直線OD為：y=

4

3

x．
聯(lián)立方程組，得

y=ax2+( 1 4 -4a)x y= 4 3 x

，
消去y，得
ax²+（-

13

12

-4a）x=0，
解得 x=0或x=4+

13

12a

，
所以，拋物線與直線OD總有兩個交點．
討論：①當a＞0時，4+

13

12a

＞3，只有交點O，所以a＞0符合題意；
②當a＜0時，若4+

13

12a

＞3，則a＜-

13

12

．
又因為a＜0
所以 a＜-

13

12

．
若4+

13

12a

≤0，則得a≥-

13

48

．
又因為a＜0，
所以-

13

48

≤a＜0．
綜上所述，a的取值范圍是a＞0或a＜-

13

12

或-

13

48

≤a＜0．

（4）拋物線為y=ax²+（

t

4

-4a）x，則頂點坐標是（-

t

8a

+2，-

1

64a

（t-16a）²）．
又∵對稱軸是直線x=-

t

8a

+2=2-

1

2t

，
∴a=

1

4

t²，
∴頂點坐標為：（2-

1

2t

，-

1

16

（1-4t）²），即（2-

1

2t

，-（t-

1

4

）²）．
∵拋物線開口向上，且隨著t的增大，拋物線的頂點向上移動，
∴只與頂點坐標有關，
∴t的取值范圍為：0＜t≤

1

4

．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題型．此題難度較大，需要熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質，二次函數(shù)圖象的性質等知識點，綜合性比較強，需要學生對所學知識進行系統(tǒng)的掌握．