Question

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，⊙O是Rt△ABC的內切圓，則⊙O的面積是4πcm²（用含π的式子表示）．

Answer 1

分析 首先求出AB的長，再連圓心和各切點，利用切線長定理用半徑表示AF和BF，而它們的和等于AB，得到關于r的方程，解方程求出半徑，再求出圓的面積即可．

解答 解：連OD，OE，OF，如圖所示，
設半徑為r．則OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，CD=r．
∵∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=13cm，
∴BE=BF=（5-r）cm，AF=AD=（12-r）cm，
∴5-r+12-r=13，
∴r=2．即Rt△ABC的內切圓半徑為2cm
∴△ABC的內切圓⊙O的面積=π×2²=4π（cm²），
故答案為：4πcm²．

點評 此題主要考查了勾股定理以及直角三角形內切圓半徑求法等知識，熟練掌握切線長定理和勾股定理．此題讓我們記住一個結論：直角三角形內切圓的半徑等于兩直角邊的和與斜邊的差的一半．