Question

6．在面積為900的平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE垂直于直線BC于點(diǎn)E，作AF垂直于直線CD于點(diǎn)F，若AB=30，BC=50，則FE的長(zhǎng)為6$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形面積求出AE和AF，根據(jù)勾股定理得到BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=24，DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=40，CE=26，CF=10，通過△AEO∽△CFO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{OE}{OF}=\frac{AO}{CO}=\frac{AE}{CF}$=$\frac{18}{10}$=$\frac{9}{5}$，求得EO=13.5，OC=12.5，AO=22.5，OF=7.5，根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=10$\sqrt{10}$，推出A，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，證得△AOC∽△EOF根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，連接AC，EF，
∵平行四邊形ABCD的面積=900，AE⊥BC，AF⊥CD，AB=30，BC=50，
∴AF=900÷30=30，AE=900÷50=18，
在Rt△ABE與Rt△AFD中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=24，DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=40，
∴CE=26，CF=10，
∵∠AEO=∠CFO，∠AOE=∠COF，
∴△AEO∽△CFO，
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{AO}{CO}=\frac{AE}{CF}$=$\frac{18}{10}$=$\frac{9}{5}$，
∴EO=13.5，OC=12.5，AO=22.5，OF=7.5，
在Rt△AEC中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=10$\sqrt{10}$，
∵∠AEC=∠AFC=90°，
∴A，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，
∴∠CAF=∠FEC，
∵∠AOC=∠EOF，
∴△AOC∽△EOF，
∴$\frac{AC}{EF}=\frac{AO}{OE}$，
即$\frac{10\sqrt{10}}{EF}=\frac{22.5}{13.5}$，
∴EF=6$\sqrt{10}$．
故答案為：6$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．