Question

14．已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分別與對角線BD交于點G、H，連接EH，F(xiàn)G．
（1）求證：△BFH≌△DEG；
（2）連接DF，若BF=DF，則四邊形EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行線的性質(zhì)得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出結(jié)論；
（2）先證明四邊形EGFH是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得出EF⊥GH，即可得出四邊形EGFH是菱形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠FBH=∠EDG，
∵AE=CF，
∴BF=DE，
∵EG∥FH，
∴∠OHF=∠OGE，
∴∠BHF=∠DGE，
在△BFH和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBH=∠EDG}&{\;}\\{∠BHF=∠DGE}&{\;}\\{BF=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴BFH≌△DEG（AAS）；
（2）解：四邊形EGFH是菱形；理由如下：
連接DF，如圖所示：
由（1）得：BFH≌△DEG，
∴FH=EG，
又∵EG∥FH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，
∵BF=DF，OB=OD，
∴EF⊥BD，
∴EF⊥GH，
∴四邊形EGFH是菱形．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．