Question

19．如圖，二次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²+（$\frac{m}{4}$+1）x+m（其中m＜4）的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（可用含字母m的代數(shù)式表示）
（2）如果這個二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)$y=\frac{9}{x}$的圖象相交于點(diǎn)C，且∠BAC的正弦值為$\frac{3}{5}$，求解這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）在上一小題的條件下，E是x軸上的一個動點(diǎn)，若以點(diǎn)B為圓心，BE為半徑的圓與直線AC相切，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出方程$\frac{1}{4}$x²+（$\frac{m}{4}$+1）x+m=0的解，可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，并設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，$\frac{9}{x}$），根據(jù)∠BAC的正弦值為$\frac{3}{5}$，可得關(guān)于x的方程，解出即可；
（3）由相切可知BE的長度即為點(diǎn)B到AC的距離，根據(jù)sin∠BAC，可得半徑r，即BE的長度，根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)可得點(diǎn)E坐標(biāo)．

解答 解：（1）令$\frac{1}{4}$x²+（$\frac{m}{4}$+1）x+m=0，
解得：x₁=-4，x₂=-m，
則可得A（-4，0）、B（-m，0）．

（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，并設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，$\frac{9}{x}$），
∵sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，即$\frac{{\frac{9}{x}}}{x+4}=\frac{3}{4}$，
解得：x=2，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，$\frac{9}{2}$），
將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式，得到m=1，
∴函數(shù)表達(dá)式為：y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{4}$x+1，

（3）過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，
由上題得到AB=3，由相切可知BE的長度即為點(diǎn)B到AC的距離，
∵sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
解得：BF=$\frac{9}{5}$，即半徑r=BE=$\frac{9}{5}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-$\frac{14}{5}$，0）或者（$\frac{4}{5}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了一元二次方程的解、三角函數(shù)及切線的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵點(diǎn)在于sin∠BAC的值的應(yīng)用，難度一般．