Question

如圖，菱形ABCD，∠BAD=120°，點M為BC上一點，點N為CD上一點，若∠AMN=60°，試判斷△AMN的形狀，說明理由（請用全等三角形的方法解答）．

Answer 1

考點：菱形的性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：首先連接AC交MN于點F，過點M作ME∥AC交AB于點E，進而得出△BME為等邊三角形，求出AE=MC，再證△AEM≌△MCN（ASA），得出△AMN的形狀．

解答：答：△AMN是等邊三角形．
證明：連接AC交MN于點F，過點M作ME∥AC交AB于點E，
∵菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴△ABC與△ACD為等邊三角形，∠BCD=120°，
∴AB=BC，
∴∠B=60°，
∴△BME為等邊三角形，
∴EM=BM=BE，∠BEM=60°，
∴∠AEM=120°，
∴∠AEM=∠BCD，
∴AB-BE=BC-BM，
即AE=MC，
∵∠AMC為△ABM的一個外角，
∴∠AMC=∠B+∠1，
∵∠AMC=∠AMN+∠2，
∵∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2，
在△AEM和△MCN中，

∠1=∠2 AE=MC ∠AEM=∠MCN

，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN，
∵∠AMN=60°，
∴△AMN是等邊三角形．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及菱形的性質和等邊三角形的判定與性質等知識，得出△AEM≌△MCN是解題關鍵．