Question

7．閱讀理解：配方中是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，用配方法可求最大（�。┲担�
對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，可作如下變形：a+b=（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt$）²=（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt$）²-2 $\sqrt{ab}$+2$\sqrt{ab}$=（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²+2$\sqrt{ab}$，
又∵（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²≥0，∴（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²+2$\sqrt{ab}$≥0+2$\sqrt{ab}$，即a+b≥2$\sqrt{ab}$．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2$\sqrt{p}$，當(dāng)且僅當(dāng)a、b滿足a=b時(shí)，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．
（2）思考驗(yàn)證：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，CO為AB邊上中線，AD=2a，DB=2b，試根據(jù)圖形驗(yàn)證a+b≥2$\sqrt{ab}$成立，并指出等號(hào)成立時(shí)的條件．
（3）探索應(yīng)用：如圖2，已知A為反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上一點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在A處旋轉(zhuǎn)，保持兩直角邊始終與x軸交于兩點(diǎn)D、E，F(xiàn)（0，-3）為y軸上一點(diǎn)，連接DF、EF，求四邊形ADFE面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題中的例子即可直接得出結(jié)論；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出CO=a+b，CD=$\sqrt{ab}$，再由（1）中的結(jié)論即可得出等號(hào)成立時(shí)的條件；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)S_{四邊形ADFE}=S_△ADE+S_△FDE可知當(dāng)DH=EH時(shí)DE最小，由此可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵a+b≥2$\sqrt{ab}$，a、b均為正實(shí)數(shù)，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a、b滿足a=b時(shí)，a+b有最小值．
故答案為：a=b；

（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CO為AB邊上中線，AD=2a，DB=2b，
∴OC=$\frac{1}{2}$（AD+BD）=a+b，CD=2$\sqrt{ab}$，OC≥CD，即a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)等式成立；

（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵S_{四邊形ADFE}=S_△ADE+S_△FDE=$\frac{1}{2}$DE•|y_A|+$\frac{1}{2}$DE•OF=$\frac{1}{2}$DE（y_A+OF），
∴當(dāng)DH=EH時(shí)DE最小，
∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴AH=4，
∴DE最小為8，
∴S_{四邊形ADFE}=$\frac{1}{2}$×8×（4+3）=28．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用配方法可求最大（�。┲担�在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)a、b滿足a=b時(shí)，a+b有最小值2$\sqrt{ab}$是解答此題的關(guān)鍵．