Question

5．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（2）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長DB交CF于點(diǎn)H．
①求證：BD⊥CF．
②當(dāng)AB=2，AD=3$\sqrt{2}$時，求線段BD的長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：BD=CF．只要證明△ABD≌△ACF即可．
（2）①在利用“8字型”證明∠FHN=∠DAN=90°，即可解決問題．
②如圖4中，連接DF，延長AB，與DF交于點(diǎn)M．在Rt△BDM中，切線BM、DM，再利用勾股定理即可解決問題．

解答 （l）解：如圖2中，BD=CF成立．

理由：由旋轉(zhuǎn)得：AC=AB，∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF．

（2）①證明：如圖3中，

由（1）得，△ABD≌△ACF，
∴∠HFN=∠ADN，
∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠AND=90°
∴∠HFN+∠HNF=90°
∴∠NHF=90°，
∴HD⊥HF，即BD⊥CF．

②如圖4中，連接DF，延長AB，與DF交于點(diǎn)M．

∵四邊形ADEF是正方形，
∴∠MDA=45°，
∵∠MAD=45°
∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，
∴AM=DM，
∵AD=3$\sqrt{2}$，
 在△MAD中，AM²+DM²=AD²，
∴AM=DM=3，
∴MB=AM-AB=3-2=1，
在△BMD中，BM²+DM²=BD²，
∴BD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．