Question

如圖所示，在五邊形ABCDE與五邊形A₁B₁C₁D₁E₁中，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，且

AB

A1B1

=

BC

B1C1

=

CD

C1D1

=

DE

D1E1

=

EA

E1A1

．求證：五邊形ABCDE∽五邊形A₁B₁C₁D₁E₁．

Answer 1

考點：相似多邊形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接BE、CE，B₁E₁、C₁E₁，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似求出△ABE和△A₁B₁E₁相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

BE

B1E1

=

AB

A1B1

=

BC

B1C1

，相似三角形對應(yīng)角相等可得∠ABE=∠A₁B₁E₁，再求出∠EBC=∠E₁B₁C₁，然后求出△EBC和△E₁B₁C₁相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

EC

E1C1

=

BC

B1C1

，再求出△CDE和△C₁D₁E₁相似，從而得證．

解答：證明：如圖，連接BE、CE，B₁E₁、C₁E₁，
∵

AB

A1B1

=

EA

E1A1

，∠A=∠A₁，
∴△ABE∽△A₁B₁E₁，
∴

BE

B1E1

=

AB

A1B1

=

BC

B1C1

，∠ABE=∠A₁B₁E₁，
∵∠B=∠B₁，
∴∠EBC=∠E₁B₁C₁，
∴△EBC∽△E₁B₁C₁，
∴

EC

E1C1

=

BC

B1C1

，
∴

EC

E1C1

=

CD

C1D1

=

DE

D1E1

，
∴△CDE∽△C₁D₁E₁，
綜上所述，兩個五邊形被分成的三個三角形對應(yīng)相似，
∴五邊形ABCDE∽五邊形A₁B₁C₁D₁E₁．

點評：本題考查了多邊形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形相似的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵．