Question

11．如圖，在?ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位速度，從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)直線l以每秒1個(gè)單位速度，從CD出發(fā)沿射線CB方向運(yùn)動(dòng)，分別交BC，AC于點(diǎn)G，H，連結(jié)PG，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)G與B重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以P，G，H，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以P，G，H，A為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)PA=GH時(shí)，以P，G，H，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，列出方程即可解決．
（2）不存在，根據(jù)（1）中的兩種情形進(jìn)行證明．

解答 解：（1）當(dāng)PA=GH時(shí)，以P，G，H，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
如圖取BC中點(diǎn)M，連接AM，
∵AB=4，BM=MC=4，∠ABC=60°，
∴△ABM是等邊三角形，
∴AM=MC=4，∠AMB=60°，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠AMB=∠MAC+∠MCA，
∴∠BCA=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AB∥GH，
∴∠GHC=∠BAC=90°
∵PA=4-2t或2t-4，GH=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{1}{2}$t
由題意：4-2t=$\frac{1}{2}$t或2t-4=$\frac{1}{2}t$，
t=$\frac{8}{5}$或$\frac{8}{3}$，
（2）不存在．理由如下：
由（1）可知①t=$\frac{8}{5}$時(shí) 四邊形APGH是平行四邊形，
∵∠PAH=90°，
∴四邊形APGH是矩形，
∵GH=$\frac{4}{5}$，PG=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
∴GH≠PG，
∴四邊形APGH不是正方形．
②t=$\frac{8}{3}$時(shí)，點(diǎn)P在BA的延長線上，四邊形PAGH顯然不是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．