Question

12．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若sin∠ABC=$\frac{4}{5}$，求tan∠BDC的值．

Answer 1

分析 （1）先證明AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，再根據(jù)OA=OC得∠OAC=∠OCA，由此即可證明．
（2）連接BM、OC交于點(diǎn)N，根據(jù)sin∠ABC=sin∠BCN=$\frac{4}{5}$=$\frac{BN}{BC}$，設(shè)BN=4k，BC=5k，則CN=3k，求出DM，BM，根據(jù)tan∠CDB=tan∠DBM=$\frac{DM}{BM}$即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵DC是⊙O切線，
∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠DAB．
（2）解：連接BM、OC交于點(diǎn)N．
∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°，∵AD∥OC，
∴∠ONB=∠AMB=90°=∠CNB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴sin∠ABC=sin∠BCN=$\frac{4}{5}$=$\frac{BN}{BC}$，設(shè)BN=4k，BC=5k，則CN=3k，
∵∠CDM=∠DMN=∠DCN=90°，
∴四邊形DMNC是矩形，
∴DM=CN=3k，MN=BN=4k，CD∥BM，
∴∠CDB=∠DBM，
∴tan∠CDB=tan∠DBM=$\frac{DM}{BM}$=$\frac{3k}{8k}$=$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理的高知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊四邊形矩形，學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．