Question

（14分）如圖，拋物線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A（－3，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E（0，－3）．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行．直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（3分）

（2）點(diǎn)K為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作x軸的垂線(xiàn)與直線(xiàn)CD交于點(diǎn)H，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)G，求線(xiàn)段HG長(zhǎng)度的最大值；（4分）

（3）在直線(xiàn)l上取點(diǎn)M，在拋物線(xiàn)上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．（7分）

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）N(－5，12)或(11，140)或(－1，－4)．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)E，A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求出a、b、c的值；

（2）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線(xiàn)CD的解析式，然后結(jié)合圖形設(shè)出K點(diǎn)的坐標(biāo)（t，0），表達(dá)出H點(diǎn)和G點(diǎn)的坐標(biāo)，列出HG關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；

（3）需要討論解決，①若線(xiàn)段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=3﹣n；當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，MN=n﹣3，然后根據(jù)已知條件在求n的坐標(biāo)就容易了

②若線(xiàn)段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，由“點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱(chēng)”知：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱(chēng)，取點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），過(guò)P點(diǎn)作NP⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N，結(jié)合已知條件再求n的坐標(biāo)就容易了．

試題解析：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，

∵拋物線(xiàn)交y軸于點(diǎn)E（0，﹣3），將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得a=1，

∴所求函數(shù)表達(dá)式為，即；

（2）∵點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)（﹣3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（1，0），

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（5，0），

∴將點(diǎn)C坐標(biāo)代入，得m=5，

∴直線(xiàn)CD的函數(shù)表達(dá)式為，

設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），G點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

∵點(diǎn)K為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，∴﹣3≤t≤1，∴HG=（）﹣（）=，

∵﹣3＜＜1，∴當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段HG的長(zhǎng)度有最大值；

（3）∵點(diǎn)F是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C（5，0），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，0），

∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行，∴直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式為x=3，

∵點(diǎn)M在直線(xiàn)l上，點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，m），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，），

∵點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（5，0），∴AC=8，

分情況討論：①若線(xiàn)段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊，則需MN∥AC，且MN=AC=8．

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN=3﹣n，∴3﹣n=8，解得n=﹣5，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，12），

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，MN=n﹣3，∴n﹣3=8，解得n=11，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（11，140），

②若線(xiàn)段AC是以點(diǎn)A、C，M、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，由“點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱(chēng)”知：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱(chēng)，取點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）

過(guò)P點(diǎn)作NP⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N，將代入，得y=﹣4，

過(guò)點(diǎn)N作直線(xiàn)NM交直線(xiàn)l于點(diǎn)M，

在△BPN和△BFM中，∵∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°，∴△BPN≌△BFM，

∴NB=MB，∴四邊形ANCM為平行四邊形，∴坐標(biāo)（﹣1，﹣4）的點(diǎn)N符合條件，

∴當(dāng)N的坐標(biāo)為（﹣5，12），（11，140），（﹣1，﹣4）時(shí)，以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．