Question

18．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，求∠FCD的度數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)AE⊥EF即可得出∠AEF=90°，從而可得出∠AEB+∠FEC=90°，利用正方形的性質(zhì)即可得出∠B=90°，通過角的計算即可得出∠BAE=∠FEC，結(jié)合AG=CE、AE=EF，即可證出△AGE≌△ECF（SAS），從而得出∠AGE=∠ECF，再通過等腰直角三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合角的計算即可得出結(jié)論．

解答 解：∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=180°-∠AEF=180°-90°=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∴∠AEB+∠BAE=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠FEC．
在△AGE和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=EC}\\{∠GAE=∠CEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（SAS），
∴∠AGE=∠ECF．
∵AB=BC，AG=CE，
∴BG=BE，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=180°-∠BGE=180°-45°=135°，
∴∠ECF=135°，
∴∠FCD=∠ECF-∠ECD=135°-90°=45°．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出∠ECF=∠AGE=135°．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．