Question

16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，D為邊AC的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G，AF⊥BD，AD交BD的延長線于點(diǎn)F，AF的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)E．
（1）請寫出與AD相等的線段，AD=DG；
（2）求證：DG+CE=BC；
（3）點(diǎn)D在邊AC上移動(dòng)時(shí)，∠BFC的大小是否發(fā)生變化？若變化，請求出它的變化范圍；若不變，請求出它的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先DG∥BC得出∠AGD=∠BAC=45°，即可得出結(jié)論；
（2）先用同角或等角的余角相等判斷出∠CBD=∠CAE，進(jìn)而得出，△BCD≌△ACE，即CD=CE最后用等量代換即可得出結(jié)論；
（3）先求出∠CED=45°，再由∠ACE=∠BFE=90°，得出點(diǎn)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，用同弧所對的圓周角相等即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴AC=BC，
∵DG∥BC，
∴∠AGD=∠ABC=45°，
∴AD=DG，
故答案為DG；
（2）∵∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠BDC=90°，
∵∠ADF=∠BDC，
∴∠CBD+∠ADF=90°，
∵AF⊥BD，
∴∠ADF+∠CAE=90°，
∴∠CBD=∠CAE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠CAE}\\{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴CD=CE，
由（1）知，DG=AD，
∴DG+CE=AD+CD=AC=BC；
（3）∠BFC的大小不發(fā)生變化，是45°，
理由：如圖，連接DE，以DE為直徑作圓．

由（2）知，△BCD≌△ACE，
∴CD=CE，
∵∠DCE=90°，
∴∠CED=45°，
∵∠ACE=∠BFE=90°，
∴點(diǎn)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，
∴∠DFC=∠CED=45°，
即：∠BFC=45°，是定值．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，解本題的關(guān)鍵是判斷出△BCD≌△ACE．是一道比較簡單的中考�？碱}．