Question

9．已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分別為直線AB和線段EF上的點．

（1）如圖1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度數(shù)．
（2）如圖2，EN平分∠HEF交AB于點N，NQ⊥EM于點Q，當H在直線AB上運動（不與點F重合）時，探究∠FHE與∠ENQ的關系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）首先作MQ∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，推得∠M=$\frac{1}{2}$（∠FHP+∠HFP）；然后根據(jù)HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，據(jù)此求出∠M的度數(shù)即可．
（2）①首先判斷出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=$\frac{1}{2}$（∠HEF+∠DEF）=$\frac{1}{2}$∠HED，然后根據(jù)NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=$\frac{1}{2}$（180°-∠HED）=$\frac{1}{2}$∠CEH，再根據(jù)AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．
②首先判斷出∠NEQ=∠QEF-∠NEF=$\frac{1}{2}$（∠DEF-∠HEF）=$\frac{1}{2}$∠HED，然后根據(jù)NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=$\frac{1}{2}$（180°-∠HED）=$\frac{1}{2}$∠CEH，再根據(jù)AB∥CD，推得∠FHE=180°-2∠ENQ即可．

解答 解：（1）如圖1，作MQ∥AB，，
∵AB∥CD，MQ∥AB，
∴MQ∥CD，
∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，
∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=$\frac{1}{2}$（∠FHP+∠FED）=$\frac{1}{2}$（∠FHP+∠HFP），
∵HP⊥EF，
∴∠HPF=90°，
∴∠FHP+∠HFP=180°-90°=90°，
∵∠1+∠2=∠M，
∴∠M=$\frac{1}{2}×90°=45°$．

（2）①如圖2，，
∠FHE=2∠ENQ，理由如下：
∠NEQ=∠NEF+∠QEF=$\frac{1}{2}$（∠HEF+∠DEF）=$\frac{1}{2}$∠HED，
∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=$\frac{1}{2}$（180°-∠HED）=$\frac{1}{2}$∠CEH，
∵AB∥CD，
∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ．

②如圖3，，
∠FHE=180°-2∠ENQ，理由如下：
∠NEQ=∠QEF-∠NEF=$\frac{1}{2}$（∠DEF-∠HEF）=$\frac{1}{2}$∠HED，
∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=$\frac{1}{2}$（180°-∠HED）=$\frac{1}{2}$∠CEH，
∵AB∥CD，
∴∠FHE=180°-∠CEH=180°-2∠ENQ．
綜上，可得
當H在直線AB上運動（不與點F重合）時，∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°-2∠ENQ．

點評 此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．③定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．