Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

3

3

x+3與坐標(biāo)軸分別交于 A、B兩點(diǎn)．動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿折線AO-OB-BA運(yùn)動，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動的速度分別為

3

，1，2（長度單位/秒），點(diǎn)E同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)沿OB以

1

3

（長度單位/秒）的速度運(yùn)動，直線EF∥x軸交BA于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO-OB-BA運(yùn)動一周時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)E同時(shí)停止運(yùn)動．請解答下列問題
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P′，在運(yùn)動過程中，若形成的四邊形PEP′F是菱形，則t的值是多少？
（3）當(dāng)t=2時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）分別令x、y為0，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）此題需要分三種情況分析：點(diǎn)P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據(jù)菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點(diǎn)，可求得一個(gè)；當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，根據(jù)對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形也可求解；
（3）當(dāng)t=2時(shí)，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可確定△BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，解題時(shí)要注意答案的不唯一性．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-

3

3

x+3=0，
解得：x=3

3

，
即A（3

3

，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
即B（0，3）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1），
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=

1

3

t，∠A=30°，
∴AG=

FG

tan30°

=

3

3

t，
而AP=

3

t，
∴OP=3

3

-

3

t，PG=AP-AG=

3

t-

3

3

t=

2 3

3

t，
由3

3

-

3

t=

2 3

3

t，
解得：t=

9

5

；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；
③當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2），
∵OE=

1

3

t，
∴BE=3-

1

3

t，
∴EF=

BE

tan30°

=3

3

-

3

3

t，
∴MP=EH=

1

2

EF=

3 3

2

-

3

6

t，
又∵BP=2（t-6），
在Rt△BMP中，BP•sin60°=MP
即2（t-6）•

3

2

=

3 3

2

-

3

6

t，
解得：t=

45

7

；

（3）存在；理由如下：
∵t=2，∴OE=

2

3

，AP=2

3

，OP=

3

，
將△BEP繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△B'EC（如圖3），
∵OB⊥EF，
∴點(diǎn)B'在直線EF上，
∵C點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對值等于EO長度，C點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對值等于EO-PO長度，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

3

，

2

3

-

3

），
過F作FQ∥B'C，交EC于點(diǎn)Q，
則△FEQ∽△B'EC，
由

BE

FE

=

B′E

FE

=

CE

QE

=

3

3

，
可得Q的坐標(biāo)為（-

2

3

3

，-

7

3

）；
根據(jù)對稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)Q'（-

2

3

3

，

11

3

）也符合條件．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，還考查了菱形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意答案的不唯一性，不要漏解．