Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點(diǎn)Q作QF∥BC，交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm²．

（1）當(dāng)t=　_________　s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；

（2）當(dāng)t=　_________　s時(shí)，點(diǎn)D在QF上；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

（1）1     （2）      （3）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，

∴t+t=2，解得t=1s，

故填空答案：1．

（3）當(dāng)P、Q重合時(shí)，由（1）知，此時(shí)t=1；

當(dāng)D點(diǎn)在BC上時(shí)，如答圖2所示，此時(shí)AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，進(jìn)一步分析可知此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合；

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)t=2．

因此當(dāng)P點(diǎn)在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，其運(yùn)動(dòng)過程可分析如下：

①當(dāng)1＜t≤時(shí)，如答圖3所示，此時(shí)重合部分為梯形PDGQ．

此時(shí)AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；

易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．

∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，

∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．

S=S_梯形PDGQ=（PQ+DG）•PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]•t=t²﹣2t；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：

S=．

考點(diǎn)：相似形綜合題；勾股定理；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．

點(diǎn)評：本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及到動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線問題．第（1）（2）問均涉及動(dòng)點(diǎn)問題，列方程即可求出t的值；第（3）問涉及動(dòng)線問題，是本題難點(diǎn)所在，首先要正確分析動(dòng)線運(yùn)動(dòng)過程，然后再正確計(jì)算其對應(yīng)的面積S．本題難度較大，需要同學(xué)們具備良好的空間想象能力和較強(qiáng)的邏輯推理能力．