Question

如圖所示，MN是圓O中一條固定的弦，劣弧MN的度數(shù)為120°，點(diǎn)C是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與M、N重合）．連接MC、NC，D、E分別是NC和MC的中點(diǎn)，直線DE交圓O于點(diǎn)A、B．已知圓O的半徑為

3

，那么在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中AE+BD的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：判斷出點(diǎn)C在劣弧MN上且點(diǎn)C在劣弧MN的中點(diǎn)時(shí)，AB的長(zhǎng)度最小，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE=

1

2

MN，從而得到此時(shí)AE+BD的值最小，連接OA、OM、連接OC與MN、AB分別相交于點(diǎn)F、G，然后求出OF、MF，再求出OG，然后利用勾股定理列式求出AG，再根據(jù)AE+BD=2AG-DE計(jì)算即可得解．

解答：解：∵D、E分別是NC和MC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C在劣弧MN上且點(diǎn)C在劣弧MN的中點(diǎn)時(shí)，AB的長(zhǎng)度最小，
此時(shí)DE=

1

2

MN，
連接OA、OM、連接OC與MN、AB分別相交于點(diǎn)F、G，
∵劣弧MN的度數(shù)為120°，
∴∠OMN=

1

2

（180°-120°）=30°，
∵圓O的半徑為

3

，
∴OF=

1

2

×

3

=

3

2

，
MF=

3

2

×

3

=

3

2

，
∵D、E分別是NC和MC的中點(diǎn)，
∴FG=

1

2

（OC-OF）=

1

2

（

3

-

3

2

）=

3

4

，
∴OG=OF+FG=

3

2

+

3

4

=

3 3

4

，
在Rt△AOG中，AG=

AO2-OG2

=

( 3 )2-( 3 3 4 )2

=

21

4

，
∴AE+BD=2AG-DE=2×

21

4

-

3

2

=

21 -3

2

．
故答案為：

21 -3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，勾股定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，難點(diǎn)在于判斷出點(diǎn)C在在劣弧MN的中點(diǎn)時(shí)AE+BD的值最小．