Question

如圖，已知點(diǎn)A（2，0）、B（0，4），一點(diǎn)P距離O點(diǎn)2t個(gè)單位（0＜t＜2），過(guò)點(diǎn)P作平行于A(yíng)B的直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q．
（1）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）若∠AOB的平分線(xiàn)交AB于C，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，設(shè)OA的中點(diǎn)為M，點(diǎn)Q在線(xiàn)段OM上，若△PQC的面積為

5

9

，求此時(shí)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）易證△OPQ∽△OBA，根據(jù)相似三角形相似比可解本題；
（2）根據(jù)A、B點(diǎn)可以求出直線(xiàn)AB的解析式，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）過(guò)O作直線(xiàn)l∥AB，作CE⊥l，可以求得CD的長(zhǎng)（用t表示），再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)可以求得t的值．

解答：解：（1）∵PQ∥AB
，∴△OPQ∽△OBA，
∴

OP

OB

=

OQ

OA

，
∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為t，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（t，0）；
（2）∵∠AOB的平分線(xiàn)交AB于C，
∴C到OB、OA的距離相等
設(shè)C橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為x，
∵直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，
∴直線(xiàn)AB解析式為y=-2x+4，
∵點(diǎn)C在直線(xiàn)AB上，
∴x=-2x+4，x=

4

3

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

3

，

4

3

）；
（3）過(guò)O作直線(xiàn)l∥AB，作CE⊥l，則

設(shè)OA的中點(diǎn)為M，點(diǎn)Q在線(xiàn)段OM上，
則0＜t＜1，
∵DE=

OP•OQ

PQ

=

2 5 t

5

，
∵

DE

DC

=

OQ

QA

，
∴CD=

2 5 (2-t)

5

∵△PQC的面積為

5

9

=

1

2

•

5

t•CD，
化簡(jiǎn)得t（2-t）=

5

9

，
解得t=

1

3

或

5

3

（不滿(mǎn)足題意，舍去），
∴t=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)用，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了直線(xiàn)解析式的求解．