Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠B=60°．

（1）求⊙O的半徑；
（2）若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以1cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），連結(jié)EF，當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF為直角三角形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，再由sin∠ABC=

3

2

可求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出AB的長(zhǎng)進(jìn)而求出其半徑的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△BEF為直角三角形時(shí)，與△ABC相似，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答；
（3）用含t的代數(shù)式表示出△BEF的高，進(jìn)而用二次函數(shù)表示出其面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵sin∠ABC=

3

2

，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=30°，AB=2BC=4cm，
∴OA=

AB

2

=

4

2

=2cm，即r=2cm；

（2）①當(dāng)EF⊥BC時(shí)，如圖1，

因?yàn)锳B為⊙O直徑，
所以∠C=90°，
當(dāng)EF⊥BC，
則有△EBF∽△ABC，
于是

BF

BC

=

BE

BA

，
即

t

2

=

4-2t

4

，
解得t=1．

②當(dāng)EF⊥AB時(shí)，如圖2，

則有△EBF∽△BCA，
于是

EB

CB

=

BF

AB

，
即

t

4

=

4-2t

2

，
解得t=

8

5

．
所以，當(dāng)t=1s或

8

5

s時(shí)，△BEF為直角三角形．

（3）作△BFE的BE邊上的高FG，如圖3，

則FG=BF•sin∠ABC=

3

2

t．
S_△EFB=

1

2

EB•FG=

1

2

（4-2t）

3

2

t=-

3

2

t²+

3

t，
當(dāng)t=-

3

2×(- 3 2 )

=1時(shí)，S_△EFB取得最大值，為S_最大=-

3

2

+

3

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合性很強(qiáng)的題目，涉及圓周角定理、三角函數(shù)、二次函數(shù)的最值等問(wèn)題，難度較大，要認(rèn)真對(duì)待．