Question

7．已知拋物線y=x²+h與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且OC=AB．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）直線y=2x+b被拋物線截得線段長為2$\sqrt{30}$，求b．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)點B坐標(biāo)（-$\frac{1}{2}$h，0），把點B坐標(biāo)代入y=x²+h得到0=$\frac{1}{4}$h²+h，解方程即可解決問題．
（2）設(shè)直線y=2x+b與拋物線y=x²-4的交點為E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4}\\{y=2x+b}\end{array}\right.$消去y得到x²-2x-4-b=0，可得x₁+x₂=2，x₁x₂=-4-b，由此推出y₁+y₂=4+2b，y₁y₂=b²-16，所以（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4b+20，同理可得（y₁-y₂）²=16b+80，根據(jù)EF=2$\sqrt{30}$，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖由題意，OA=OB，

∵OC=AB，
∴OA=OB=-$\frac{1}{2}$h，
∴點B坐標(biāo)（-$\frac{1}{2}$h，0），
把點B坐標(biāo)代入y=x²+h得到，0=$\frac{1}{4}$h²+h，解得h=-4或0（舍棄），
∴拋物線的解析式為y=x²-4．

（2）設(shè)直線y=2x+b與拋物線y=x²-4的交點為E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4}\\{y=2x+b}\end{array}\right.$消去y得到x²-2x-4-b=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-4-b，由此可得y₁+y₂=4+2b，y₁y₂=b²-16，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4b+20，同理可得（y₁-y₂）²=16b+80，
∵EF=2$\sqrt{30}$，
∴4b+20+16b+80=120，
∴b=1．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、兩點之間距離公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程組，利用根與系數(shù)關(guān)系解決問題，屬于中考常考題型．