Question

19．如圖①，在銳角△ABC中，AB=5，tanC=3．BD⊥AC于點(diǎn)D，BD=3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)E，以PE為邊作Rt△PEF，使∠EPF=90°，點(diǎn)F在點(diǎn)P的下方，且EF∥AB，設(shè)△PEF與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位）（S＞0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（t＞0）．
（1）求線段AC的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)△PEF與△ABD重疊部分圖形為四邊形時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）若邊EF與邊AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，如圖②．
①當(dāng)PQ將△PEF的面積分成1：2兩部分時(shí)，求AP的長(zhǎng)．
②直接寫出PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)時(shí)t的值．

Answer 1

分析 （1）分別求出AD和CD的長(zhǎng)，相加即可；
（2）當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，如圖2，根據(jù)DE=AP=DC列式得：t=1；當(dāng)F在AC邊上時(shí)，如圖4，由EF=CF得：t=5-$\frac{4}{5}$t，t=$\frac{25}{9}$；再分兩種情況分別計(jì)算重疊四邊形的面積即可；
（3）①當(dāng)PQ將△PEF的面積分成1：2兩部分時(shí)，要分兩種情況：當(dāng)S_△PQF：S_△PQE=1：2和當(dāng)S_△PQF：S_△PQE=2：1時(shí)，分別代入$\frac{{S}_{△PQE}}{{S}_{△PEF}}$中列等式可求得t的值；
②分兩種情況：
i）當(dāng)PQ的中垂線過點(diǎn)A時(shí)，如圖7，根據(jù)PE=PA列等式得結(jié)論，
ii）當(dāng)PQ的中垂線過B時(shí)，如圖8，則PB=BQ=5-t，在Rt△BQD中，列方程4²+（t-2）²=（5-t）²，解出即可．

解答 解：（1）在Rt△BDC中，tan∠C=$\frac{BD}{CD}$=3，
∵BD=3，
∴CD=1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AC=AD+CD=4+1=5；
（2）由題意得：AP=t，
當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，如圖2，
∵PE∥AC，EF∥AP，
∴四邊形PADE是平行四邊形，
∴DE=AP=t，
∵AB=AC=5，
∴∠C=∠ABC，
∵EF∥AB，
∴∠ABC=∠DEC，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
∴t=1；
①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，如圖3，△PEF與△ABD重疊部分圖形的面積為四邊形PGDH的面積，
∵∠EPF=90°，PE∥AC，
∴∠PGC=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠PGC=∠EPF=90°，
∴四邊形PGDH是矩形，
在Rt△APG中，sin∠A=$\frac{BD}{AB}=\frac{PG}{AP}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{PG}{t}$，
∴PG=$\frac{3t}{5}$，
∴AG=$\frac{4t}{5}$，
∴GD=AD-AG=4-$\frac{4t}{5}$，
∴S=S_矩形PGDH=PG•GD=$\frac{3t}{5}$（4-$\frac{4t}{5}$）=-$\frac{12}{25}{t}^{2}$+$\frac{12}{5}t$；
②當(dāng)F在AC邊上時(shí)，如圖4，
AF=$\frac{4}{5}$t，CF=5-$\frac{4}{5}$t
由EF=CF得：t=5-$\frac{4}{5}$t
t=$\frac{25}{9}$；
當(dāng)$\frac{25}{9}$≤t≤5時(shí)，如圖5，△PEF與△ABD重疊部分圖形的面積為四邊形PFHG的面積，
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAD，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PG}{AD}$，
∴$\frac{PG}{4}=\frac{5-t}{5}$，
∴PG=$\frac{4}{5}（5-t）$，
∵PE=PB=5-t，
∴GE=5-t-$\frac{4}{5}$（5-t）=$\frac{1}{5}$（5-t），
∵EF∥AB，
∴∠EHG=∠ABD，
∴tan∠ABD=tan∠EHG=$\frac{AD}{BD}=\frac{GE}{GH}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{\frac{1}{5}（5-t）}{GH}$，
∴GH=$\frac{3}{20}$（5-t），
同理得：$\frac{4}{3}=\frac{5-t}{PF}$，
PF=$\frac{3（5-t）}{4}$，
∴S=S_梯形PFHG=$\frac{1}{2}$（GH+PF）•PG=$\frac{1}{2}$[$\frac{3}{20}$（5-t）+$\frac{3}{4}$（5-t）]$•\frac{4}{5}$（5-t）=$\frac{9}{25}$（5-t）²=$\frac{9}{25}{t}^{2}-\frac{18}{5}t+9$；
（3）①PE=BP=5-t，PF=$\frac{3}{4}（5-t）$，PG=$\frac{3t}{5}$，
當(dāng)S_△PQF：S_△PQE=1：2時(shí)，$\frac{{S}_{△PQE}}{{S}_{△PEF}}$=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{\frac{1}{2}（5-t）•\frac{3}{5}t}{\frac{1}{2}（5-t）•\frac{3}{4}（5-t）}$=$\frac{2}{3}$，解得：t=$\frac{25}{11}$，AP=$\frac{25}{11}$，
當(dāng)S_△PQF：S_△PQE=2：1時(shí)，$\frac{{S}_{△PQE}}{{S}_{△PEF}}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{\frac{1}{2}（5-t）•\frac{3}{5}t}{\frac{1}{2}（5-t）•\frac{3}{4}（5-t）}$=$\frac{1}{3}$，解得：t=$\frac{25}{17}$，AP=$\frac{25}{17}$，
則AP的長(zhǎng)是$\frac{25}{11}$或$\frac{25}{17}$；
②分兩種情況：
i）當(dāng)PQ的中垂線過點(diǎn)A時(shí)，如圖7，即AE是PQ的中垂線，
∵四邊形PAQE是平行四邊形，
AE⊥PQ，
∴?PAQE是菱形，
∴PE=PA，
∴t=5-t，
t=$\frac{5}{2}$，
ii）當(dāng)PQ的中垂線過B時(shí)，如圖8，連接EQ，則PB=BQ=5-t，
∵CQ=EQ=t，
∴QD=CQ-CD=t-2，
在Rt△BQD中，4²+（t-2）²=（5-t）²，
解得：t=$\frac{5}{6}$，
綜上所述，PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)時(shí)t的值是$\frac{5}{2}$或$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，考查了動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題、勾股定理、平行四邊形和菱形的性質(zhì)和判定、三角函數(shù)及各類圖形面積的求法，比較復(fù)雜，尤其是第二問，計(jì)算重疊部分圖形面積時(shí)，一要先求特殊位置時(shí)t的值，二要利用數(shù)形結(jié)合的思想，先觀察圖形的特點(diǎn)，再確定面積的求法．