Question

3．如圖，已知CA平分∠MCN，AB∥CN，點D是線段CA上任意點，且BD=BE，∠DBE=∠CBA，連結(jié)AE，DE．
（1）求證：CD=AE；
（2）若BC=13，AC=24．求：
①BD的最小值；②△BDE周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）要證CD=AE，可利用角平分線的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)，證明△CDB≌△AEB即可證得；
（2）①要求BD的最小值，要運用垂線段定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，從而求得BD的最小值；
②利用軸對稱性質(zhì)，求出△BDE周長的最小值．

解答 （1）證明：∵AC平分∠MCN，
∴∠ACB=∠ACN，
又∵AB∥CN，
∴∠CAN=∠CAB，
∴∠BCA=∠BAC，
∴CB=AB=13，
又∵∠CBA=∠DBE，
∴∠CBD=∠ABE，
在△CDB和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=AB}\\{∠CBD=∠ABE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△CDB≌△AEB（SAS），
∴CD=AE；
（2）解：①由（1）知CB=AB=13，
當(dāng)BD⊥AC時，BD最小，
∵BC=AB
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=12，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=5，
∴BD最小為5；
②BD最小時，周長最小BD=BE=5，
∵∠DBE=∠CBA，AB=BC，BE=BD，即$\frac{AB}{BC}=\frac{DB}{BE}$，
∴△ABC∽△DBE，
∴△ABC與△DBE周長之比=BC：BD，
∴當(dāng)BD最小時，△DBE周長最小，
△ABC的周長為：13+13+24=50，
∴△DBE的最小周長為50×$\frac{5}{13}=\frac{250}{13}$

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，垂線段定理．找出全等三角形的條件，運用等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．