Question

3．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0．
（1）求證：無論k取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩根x₁、x₂是斜邊長(zhǎng)為5的直角三角形兩直角邊長(zhǎng)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)判別式的值得到△=1，然后根據(jù)判別式的意義可判斷方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+k，再根據(jù)勾股定理得到x₁²+x₂²=5²，接著利用完全平方公式變形得到（x₁+x₂）²-2x₁x₂=25，則（2k+1）²-2（k²+k）=25，然后解方程后利用方程的兩根為正數(shù)確定k的值．

解答 （1）證明：△=（2k+1）²-4（k²+k）
=1＞0，
所以無論k取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+k，
∵x₁²+x₂²=5²，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=25，
∴（2k+1）²-2（k²+k）=25，
整理得k²+k-12=0，解得k₁=3，k₂=-4，
∵x₁+x₂=2k+1＞0，x₁x₂=k²+k＞0，
∴k的值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，反過來也成立．也考查了根的判別式．