Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點D在y軸上．直線CB的關(guān)系式為y=-

4

3

x+

16

3

，點A、D的坐標(biāo)分別為（-4，0），（0，4）．動點P從A點出發(fā)，在AB邊上勻速運動．動點Q從點B出發(fā)，在折線BCD上勻速運動，速度均為每秒1個單位長度．當(dāng)其中一個動點到達(dá)終點時，另一動點也停止運動．設(shè)點P運動t（s）時，△OPQ的面積為S（不能構(gòu)成△OPQ的動點除外）．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t=3s時，求S的值；
（3）求S隨t變化的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把y=4代入y=-

4

3

x+

16

3

，求得x的值，則可得點C的坐標(biāo)；
（2）把y=0代入y=-

4

3

x+

16

3

，求得x的值，即可得點B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出sin∠ABC=

CM

BC

=

4

5

，得出OP以及QN的值，進(jìn)而得出答案；
（3）分別從0＜t＜4時，當(dāng)4＜t≤5時與當(dāng)5＜t≤6時去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）把y=4代入y=-

4

3

x+

16

3

，得x=1．
∴C點的坐標(biāo)為（1，4）．

（2）當(dāng)y=0時，-

4

3

x+

16

3

=0，
∴x=4．
∴點B坐標(biāo)為（4，0），
如圖1，作CM⊥AB于M，作QN⊥OB于N，
則CM=4，BM=3．
∴BC=

CM2+BM2

=

32+42

=5．
∴sin∠ABC=

CM

BC

=

4

5

．
當(dāng)t=3s時，
可得AP=3，則PO=1，
BQ=3，則QN=

4

5

×3=

12

5

，
∴S=

1

2

OP•QN=

1

2

×1×

12

5

=

6

5

；

（3）①如圖1，0＜t＜4時，作QN⊥OB于N，
則QN=BQ•sin∠ABC=

4

5

t．
∴S=

1

2

OP•QN=

1

2

（4-t）×

4

5

t=-

2

5

t²+

8

5

t（0＜t＜4）．
②當(dāng)4＜t≤5時，（如圖2），
連接QO，QP，作QN⊥OB于N．
同理可得QN=

4

5

t．
∴S=

1

2

OP•QN=

1

2

×（t-4）×

4

5

t=

2

5

t²-

8

5

t（4＜t≤5）．
③當(dāng)5＜t≤6時，（如圖3），
連接QO，QP．
S=

1

2

×OP×OD=

1

2

（t-4）×4=2t-8（5＜t≤6）．

點評：此題考查了點與函數(shù)的關(guān)系，三角形面積的求解方法．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題時要注意分類討論思想，方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．