Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=$\sqrt{6}$．
（1）求∠BAD、∠BCD的度數(shù)．
（2）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠DAC=∠ACD=45°，AC²=AD²+CD²=2×6=12．AC=2$\sqrt{3}$，由勾股定理的逆定理證出∠BAC=90°．證出∠ACB=30°，即可得出所求；
（2）四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積，代入計(jì)算即可．

解答 解：（1）連接AC，如圖所示：
∵CD=AD=$\sqrt{6}$，∠D=90°，
∴∠DAC=∠ACD=45°，AC²=AD²+CD²=2×6=12．AC=2$\sqrt{3}$，
在△ABC中，∵AB²+BC²=2²+12=16=AC²，
∴∠BAC=90°．
∵BC=2AB，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+45°=135°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=30°+45°=75°；
（2）四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$+3．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理和逆定理是解本題的關(guān)鍵．