Question

8．已知：如圖，在△ABC中，AB=BC=10，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，連接DE和DB，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，交BD于點(diǎn)P．
（1）求證：AD=DE；
（2）若CE=2，求線段CD的長；
（3）在（2）的條件下，求△DPE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證AD=DE；
（2）根據(jù)AA可證△CED∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和已知條件可求CD；
（3）延長EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理可求BD，根據(jù)AA可證△BPE∽△BED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求BP，進(jìn)一步求得DP，根據(jù)等高三角形面積比等于底邊的比可得S_△DPE：S_△BPE=13：32，S_△BDE：S_△BCD=4：5，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴D是AC的中點(diǎn)，∠ABD=∠CBD，
∴AD=DE；

（2）解：∵四邊形ABED內(nèi)接于⊙O，
∴∠CED=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{CD}{CB}$，
∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中點(diǎn)，
∴CD=$\sqrt{10}$；

（3）解：延長EF交⊙O于M，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{10}$，AB=10，
∴BD=3$\sqrt{10}$，
∵EM⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{BM}$，
∴∠BEP=∠EDB，
∴△BPE∽△BED，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BE}{BP}$，
∴BP=$\frac{32\sqrt{10}}{15}$，
∴DP=BD-BP=$\frac{13\sqrt{10}}{15}$，
∴S_△DPE：S_△BPE=DP：BP=13：32，
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×3$\sqrt{10}$=15，S_△BDE：S_△BCD=BE：BC=4：5，
∴S_△BDE=12，
∴S_△DPE=$\frac{52}{15}$．

點(diǎn)評 考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的知識．注意準(zhǔn)確作出輔助線、掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．