Question

4．已知二次函數(shù)y=x²-ax-2a²（a為常數(shù)，且a≠0）．
（1）證明該二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸、負半軸各有一個交點；
（2）若該二次函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標為（0，-2），試求該函數(shù)圖象的頂點坐標．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得方程的兩個根一正一負，可證得結(jié)論；
（2）把（0，-2）代入拋物線的解析可求得a的值，進一步可求得其頂點坐標．

解答 （1）證明：
y=x²-ax-2a²=（x+a）（x-2a），
令y=0，則x₁=-a，x₂=2a，
∵a≠0，x₁、x₂的值必為一正一負，
∴該二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸、負半軸各有一個交點；
（2）解：
由題意，得-2a²=-2，所以a=1或-1．
當a=1時，y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，頂點坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
當a=-1時，y=x²+x-2=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，頂點坐標為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
該函數(shù)圖象的頂點坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)與x軸的交點和頂點坐標，掌握二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標是對應一元二次方程的兩根是解題的關(guān)鍵．