Question

2．△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D．
（1）如圖1，作∠ADB的角平分線DF交BE于點(diǎn)F，連接AF．求證：∠FAB=∠FBA；
（2）如圖2，連接DE，點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接DG、EG
①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；
②用等式表示線段AE、BE、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）欲證明∠FAB=∠FBA，由△ADF≌△BDF推出AF=BF即可解決問題．
（2）①根據(jù)條件畫出圖形即可．
②數(shù)量關(guān)系是：GD+AE=BE．過點(diǎn)D作DH⊥DE交BE于點(diǎn)H，先證明△ADE≌△BDH，再證明四邊形GEHD是平行四邊形即可解決問題．

解答 證明：（1）如圖1中，

∵AD⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵DF平分∠ADB，
∴∠1=∠2，
在△ADF和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠1=∠2}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDF．
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA．

（2）補(bǔ)全圖形如圖2中所示，

數(shù)量關(guān)系是：GD+AE=BE．
理由：過點(diǎn)D作DH⊥DE交BE于點(diǎn)H
∴∠ADE+∠ADH=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDH+∠ADH=90°，
∴∠ADE=∠BDH，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AKE=∠BKD，
∴∠DAE=∠DBH，
在△ADE和△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DBH}\\{AD=BD}\\{∠ADE=∠BDH}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDH．
∴DE=DH，AE=BH，
∵DH⊥DE，
∴∠DEH=∠DHE=45°，
∵BE⊥AC，
∴∠DEC=45°，∵點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，
∴AC垂直平分GD，
∴GD∥BE，∠GEC=∠DEC=45°，
∴∠GED=∠EDH=90°，
∴GE∥DH，
∴四邊形GEHD是平行四邊形
∴GD=EH，
∴GD+AE=BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練正確全等三角形判定方法，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形以及特殊四邊形解決問題，屬于中考常考題型．