Question

13．綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=-$\frac{3}{2}$，且經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)B，正比例函數(shù)y=kx在第二象限與拋物線交于點(diǎn)P，與直線y=$\frac{1}{2}$x+2交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△PAC面積的最大值，并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）是否存在正比例函數(shù)y=kx，將△ABC的面積分為2：3的兩部分？

Answer 1

分析 （1）由直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．可求得點(diǎn)A，與點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用對稱性求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；
（2）首先設(shè)P（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，即可表示出PQ的長，繼而表示出△PAC面積，則可求得答案；
（3）分別從當(dāng)S_△ADO：S_{四邊形ODCB}=2：3時與當(dāng)S_△ADO：S_{四邊形ODCB}=3：2時去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵對于直線y=$\frac{1}{2}$x+2，當(dāng)x=0時，y=2；當(dāng)y=0時，x=-4．
∴點(diǎn)C（0，2），A（-4，0）．
∴由拋物線的對稱性可知，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=-$\frac{3}{2}$對稱，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（1，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，可得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a-4b+c=0}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；

（2）設(shè)P（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），
如圖1，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q．
∴Q（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²-2m，
∵S_△APC=$\frac{1}{2}$×PQ×OA=$\frac{1}{2}$×PQ×4=2PQ，
∴S=2（-$\frac{1}{2}$m²-2m）=-m²-4m=-（m+2）²+4；
∴當(dāng)m=-2時，△PAC的面積有最大值4．
此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3）．

（3）存在正比例函數(shù)y=kx，將△ABC的面積分為2：3的兩部分．
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×OC=$\frac{1}{2}$×5×2=5，
分兩種情況：
①如圖2，過點(diǎn)D作DM₁⊥AD，垂足為M₁，
當(dāng)S_△ADO：S_{四邊形ODCB}=2：3時，S_△ADO=$\frac{2}{5}$×5=2，
∴$\frac{1}{2}$×OA×DM₁=2，即$\frac{1}{2}$×4×DM₁=2，
∴DM₁=1．
把y=1代入y=$\frac{1}{2}$x+2，得x=-2，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-2，1）．
把x=-2，y=1，代入正比例函數(shù)y=kx中，
解得：k=-$\frac{1}{2}$；
②如圖3，過點(diǎn)D作DM₂⊥AD，垂足為M₂，
當(dāng)S_△ADO：S_{四邊形ODCB}=3：2時，S_△ADO=$\frac{3}{5}$×5=3，
∴$\frac{1}{2}$×OA×DM₂=3，即$\frac{1}{2}$×4×DM₂=3，
∴DM₂=$\frac{3}{2}$．
把y=$\frac{3}{2}$代入y=$\frac{1}{2}$x+2，得x=-1，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，$\frac{3}{2}$）．
把x=-1，y=$\frac{3}{2}$，代入正比例函數(shù)y=kx中，
解得：k=-$\frac{3}{2}$．
綜上可得：k的值為-$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識、三角形面積最值問題以及面積比問題．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．