Question

將直角三角形OAB放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，6

3

），點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)D在邊AO上，連接BD，

（Ⅰ）如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，連接OF、EF，設(shè)OF=kEF，求k的值；
（Ⅱ）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使D、E、B三點(diǎn)在一條直線上，如圖②，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥OE交于點(diǎn)G，
     ①求

GB

AE

的值；    
     ②若點(diǎn)F為線段BD的中點(diǎn)，AD=2

3

，直接寫出線段OF的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,直角三角形斜邊上的中線,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以證到OF=EF，從而得到k的值．
（Ⅱ）①要求

GB

AE

的值，可先證GB、AE所在的兩個(gè)三角形相似，再利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
②由條件AD=2

3

可求出AE=3，DE=

3

，然后利用①中的結(jié)論求出GB=

3

，從而得到DE=GB，進(jìn)而得到點(diǎn)F也是EG的中點(diǎn)，從而有OF=

1

2

EG．在Rt△AEB中，可以求出EB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EG的長(zhǎng)，就可求出OF的長(zhǎng)．

解答：解：（Ⅰ）如圖①，
∵DE⊥AB，∠AOB=90°，
∴∠DEB=∠DOB=90°．
∵點(diǎn)F是DB的中點(diǎn)，
∴OF=EF=

1

2

DB．
∵OF=kEF，
∴k=1．
∴k的值為1．
（Ⅱ）如圖②，
①∵OG⊥OE，
∴∠EOG=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠EOG=∠AOB．
∴∠EOA=∠GOB．
∵∠AED=90°，點(diǎn)D、E、B三點(diǎn)在同一條直線上，
∴∠AEB=90°．
∴∠EAC=90°-∠ACE．
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=90°-∠OCB．
∵∠ACE=∠OCB，
∴∠EAC=∠OBC，即∠EAO=∠GBO．
∵∠GOB=∠EOA，∠GBO=∠EAO，
∴△GBO∽△EAO．
∴

GB

AE

=

OB

OA

．
∵點(diǎn)A（0，6

3

），點(diǎn)B（6，0），
∴AO=6

3

，BO=6，
∴

GB

AE

=

6

6 3

=

3

3

．
②∵∠AOB=90°，AO=6

3

，BO=6，
∴AB=

(6 3 )2+62

=12．
由旋轉(zhuǎn)可得：∠DAE=∠OAB．
又∵∠AED=∠AOB，
∴△AED∽△AOB．
∴

AE

AO

=

DE

BO

=

AD

AB

．
∵AO=6

3

，BO=6，AB=12，
∴

AE

6 3

=

DE

6

=

2 3

12

．
∴AE=3，DE=

3

．
由①中的結(jié)論

BG

AE

=

3

3

可得：BG=

3

．
∴DE=BG．
∵DF=BF，
∴EF=GF．
∵∠EOG=90°，
∴OF=

1

2

EG．
在Rt△AEB中，
∵∠AEB=90°，AB=12，AE=3，
∴EB=

122-32

=3

15

．
∴EG=EB-GB=3

15

-

3

．
∴OF=

3 15 - 3

2

．
∴線段OF的長(zhǎng)度為

3 15 - 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，還考查了運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)和結(jié)論解決問(wèn)題的能力，是一道好題．