Question

5．已知△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為O，且頂角∠ACB=∠EDF．
（1）如圖1，若∠ACB=90°，探究BF與CD間的數(shù)景關(guān)系與位置關(guān)系；
（2）若∠ACB=60°，探究BF與CD間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；
（3）如圖2，若∠ACB=α，求$\frac{BF}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，猜想：BF=CD，BF⊥CD．只要證明△BOF≌△COD即可解決問題；
（2）如圖2中，結(jié)論：$\frac{BF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．BF⊥CD，只要證明△BOF∽△COD，相似比為 $\frac{\sqrt{3}}{3}$即可解決問題；
（3）如圖3中連接OC、OD，只要證明△BOF∽△COD，相似比為tan $\frac{α}{2}$即可解決問題；

解答 解：（1）猜想：BF=CD，BF⊥CD．理由如下：
如圖1中所示，連接OC、OD，延長BF交CD于H，OC交BF于K．

∵△ABC為等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF為等腰直角三角形，點O為斜邊EF的中點，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF與△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOF=∠COD}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD，∴∠OBF=∠OCD，
∵∠OBF+∠BKO=90°，∠BKO=∠CKH，
∴∠OCD+∠CKH=90°，
∴∠BHC=90°，
∴BF⊥CD，BF=CD．

（2）結(jié)論：$\frac{BF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．BF⊥CD，
如答2中，連接OC、OD，延長BF交CD于H，OC交BF于K

∵△ABC為等邊三角形，點O為邊AB的中點，
∴$\frac{OB}{OC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠BOC=90°．
∵△DEF為等邊三角形，點O為邊EF的中點，
∴$\frac{OF}{OD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠DOF=90°．
∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF與△COD中，
∵$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴$\frac{BF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠OBF=∠OCD，
∵∠OBF+∠BKO=90°，∠BKO=∠CKH，
∴∠OCD+∠CKH=90°，
∴∠BHC=90°，
∴BF⊥CD，$\frac{BF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（3）如答圖④所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰三角形，點O為底邊AB的中點，
∴$\frac{OB}{OC}$=tan $\frac{α}{2}$，∠BOC=90°．
∵△DEF為等腰三角形，點O為底邊EF的中點，
∴$\frac{OF}{OD}$=tan $\frac{α}{2}$，∠DOF=90°．
∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=tan $\frac{α}{2}$．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF與△COD中，
∵$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=tan $\frac{α}{2}$，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴$\frac{BF}{CD}$=tan $\frac{α}{2}$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵是：第一，善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關(guān)系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟練運用等腰直角三角形、等邊三角形、等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)．本題（1）（2）（3）問的解題思路一脈相承，由特殊到一般，有利于同學們進行學習與探究．