Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，4）．
（1）求直線BC與拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線在直線BC下方圖象上的一動點，過點M作MH∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在直線BC下方圖象上的一點，且△ABP的面積與△ABN的面積相等，直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（4，0），C（0，4）兩點的坐標(biāo)代入，運用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B（4，0），C（0，4）兩點的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）MN的長是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個關(guān)于MN的長和M點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；
（3）先求出N點的坐標(biāo)，根據(jù)△ABP的面積與△ABN的面積相等，它們的底AB相同，高應(yīng)該相同列出方程，然后解方程組，即可求出點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
將B（4，0），C（0，4）兩點的坐標(biāo)代入得

4m+n=0 n=4

，
解得

m=-1 n=4

．
所以直線BC的解析式為y=-x+4；
將B（4，0），C（0，4）兩點的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，
得

16+4b+c=0 c=4

，
解得

b=-5 c=4

．
所以拋物線的解析式為y=x²-5x+4；

（2）設(shè)M（x，x²-5x+4）（0＜x＜4），則N（x，-x+4），
∵MN=（-x+4）-（x²-5x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴當(dāng)x=2時，MN有最大值 4；

（3）∵MN取得最大值時，x=2，
∴-x+4=-2+4=2，即N（2，2）．
∵△ABP的面積與△ABN的面積相等，
∴△ABP的AB邊上的高等于△ABN的AB邊上的高，
∴P的縱坐標(biāo)是2或-2，
將y=2代入y=x²-5x+4；
得x₁=

5

2

-

17

2

，x₂=

5

2

+

17

2

（不合題意，舍去），
將y=-2代入y=x²-5x+4；
得：x₃=2，x₄=3，
故點P的坐標(biāo)為P₁（

5- 17

2

，2）或P₂（2，-2）或P₃ （3，-2）；

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，面積相等兩個三角形同底一定等高等知識點，綜合性較強，考查學(xué)生運用方程組、數(shù)形結(jié)合的思想方法．（2）中弄清線段MN長度的函數(shù)意義是關(guān)鍵，（3）中確定P的縱坐標(biāo)是關(guān)鍵．