Question

6．觀察下列等式$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，把以上三個等式兩邊分別相加得：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并寫出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
（2）直接寫出下列各式的計算結果：
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2008×2009}$=$\frac{2008}{2009}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$．
（3）探究并計算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2006×2008}$．

Answer 1

分析 （1）根據已知等式猜想得到拆項規(guī)律，寫出即可；
（2）原式各項利用得出的拆項規(guī)律變形，計算即可得到結果；
（3）原式各項利用得出的拆項規(guī)律變形，計算即可得到結果．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2008×2009}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2008}$-$\frac{1}{2009}$
=1-$\frac{1}{2009}$
=$\frac{2008}{2009}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=$1-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{6}-\frac{1}{8}}）+…+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2006}-\frac{1}{2008}}）$
=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2008}}）$
=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{2008}}）$
=$\frac{1003}{4016}$．
故答案為：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；$\frac{2008}{2009}$；$\frac{n}{n+1}$．

點評 此題考查了規(guī)律型：數字的變化類，有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．