Question

如圖，已知AC、BD是⊙O的兩條相互垂直的弦，并且AC、BD相交于點R，OP⊥BC，OQ⊥AD．求證：四邊形OPRQ為平行四邊形．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定,三角形中位線定理,圓周角定理

專題：證明題

分析：連接BO并延長交圓O于E，連接CE，根據(jù)BE是直徑，得到∠BCE=90°，然后根據(jù)∠ACB+∠ACE=90°，∠ADB+∠CAD=90°，∠ADB=∠ACB得到∠ACE=∠CAD，從而得到

AD

=

CE

，利用等弧對等弦德爾AD=CE然后根據(jù)中位線定理得到PO=

1

2

CE和根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到RQ=

1

2

AD，從而得到PO=RQ 同理，連接AO并延長，交圓O于F，連接DF，同樣可證得RP=OQ，從而判定四邊形OPRQ為平行四邊形．

解答：解：連接BO并延長交圓O于E，連接CE，
∵BE是直徑，
∴∠BCE=90°
∵∠ACB+∠ACE=90°，∠ADB+∠CAD=90°，∠ADB=∠ACB﹙等弧﹚
∴∠ACE=∠CAD
∴

AD

=

CE

∴AD=CE
∵PO=

1

2

CE﹙中位線﹚，RQ=

1

2

AD﹙直角三角形斜邊上的中線﹚
∴PO=RQ ①
同理，連接AO并延長，交圓O于F，連接DF，
同樣可證得RP=OQ ②
∴四邊形OPRQ為平行四邊形．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，難度不大．