Question

9．四邊形ABCD為正方形，點E為射線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）如圖1，當點E在線段AC上時．
①求證：矩形DEFG是正方形；
②求證：AC=CE+CG；
（2）如圖2，當點E在線段AC的延長線上時，請你在圖2中畫出相應圖形，并直接寫出AC、CE、CG之間的數量關系；
（3）直接寫出∠FCG的度數．

Answer 1

分析 （1）①作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根據正方形的判定定理證明即可；
②根據三角形全等的判定定理證明△AED≌△CGD，得到AE=CG，證明結論；
（2）根據題意畫出圖形，與（1）的方法類似，證明△ADE≌△CDG，得到AE=CG，即可得到答案；
（3）根據全等三角形的性質和點E的不同位置求出∠FCG的度數．

解答 （1）①證明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QEF=∠PED}\\{EQ=EP}\\{∠EQF=∠EPD}\end{array}\right.$，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；
②∵∠ADE+∠EDC=90°，∠CDG+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△AED和△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CGD，
∴AE=CG，
∴AC=CE+AE=CE+CG；
（2）AC+CE=CG，
證明：由（1）得，矩形DEFG是正方形，
∴DE=DG，
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，
∴AC+CE=CG；
（3）如圖1，當點E為線段AC上時，
∵△ADE≌△CDG，∴∠DCG=∠DAE=45°，
∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=135°；
如圖2，當點E為線段AC的延長線上時，
∠FCG=∠FCD-∠DCG=45°．

點評 本題考查的是正方形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，掌握相關的定理、正確作出輔助線是解題的關鍵，注意分情況討論思想的運用．