Question

7．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，Rt△EFG中，EF=4，EG=3，∠GEF=90°，與點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)，將△EFG繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），直線FG分別與直線AD、BD相交于M、N，當(dāng)△DMN是直角三角形時(shí)，線段MN的值是2$\sqrt{5}$-$\frac{6}{5}$或$\frac{14}{5}$．

Answer 1

分析 如圖1中，當(dāng)∠MND=90°時(shí)，由△DMN∽△DBA得$\frac{MN}{AB}$=$\frac{DN}{DA}$由此即可解決問題，
如圖2中，當(dāng)∠DMN=90°時(shí)，設(shè)BC交FG于H，由MN∥AB，得$\frac{DM}{DA}$=$\frac{MN}{AB}$，由此即可解決問題．

解答 解：如圖1中，當(dāng)∠MND=90°時(shí)，
在RT△BGF中，∵BG=3，BF=4，
∴GF=$\sqrt{B{G}^{2}+B{F}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•BG•BF=$\frac{1}{2}$•GF•BN，
∴BN=$\frac{12}{5}$，
在RT△BCD中，∵BC=8，CD=4，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴DN=4$\sqrt{5}$-$\frac{12}{5}$，
∵∠MDN=∠ADB，∠MND=∠BAD=90°，
∴△DMN∽△DBA，
∴$\frac{MN}{AB}$=$\frac{DN}{DA}$，
∴MN=2$\sqrt{5}$-$\frac{6}{5}$．
如圖2中，當(dāng)∠DMN=90°時(shí)，設(shè)BC交FG于H，則AM=BH=$\frac{12}{5}$，DM=AD-AM=$\frac{28}{5}$，
∵M(jìn)N∥AB，
∴$\frac{DM}{DA}$=$\frac{MN}{AB}$，
∴MN=$\frac{DM•AB}{DA}$=$\frac{14}{5}$，
綜上所述，MN=2$\sqrt{5}$-$\frac{6}{5}$或$\frac{14}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是需要正確畫出圖形，學(xué)會(huì)分類討論，不能漏解，屬于中考填空題中的壓軸題．