Question

12．我們把依次連結(jié)任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，依次連結(jié)各邊中點(diǎn)得到的中點(diǎn)四邊形EFGH．
（1）這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．
（2）請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（3）根據(jù)以上結(jié)論進(jìn)一步猜想，對(duì)角線互相垂直的四邊形，它的中點(diǎn)四邊形是矩形；矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形的形狀，及三角形中位線的性質(zhì)可判斷出四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）連接AC、利用三角形的中位線定理可得出HG=EF、EF∥GH，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀；
（3）根據(jù)中位線的與對(duì)角線平行的性質(zhì)，因此順次連接四邊中點(diǎn)可以得到一個(gè)相鄰的邊互相垂直的四邊形，根據(jù)矩形的定義，鄰邊垂直的四邊形為矩形，同理可得矩形的中點(diǎn)四邊形形狀．

解答 （1）解：中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．
故答案為：平行四邊形；

（2）證明：如圖1，連接AC，
∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
綜上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四邊形EFGH是平行四邊形．

（3）解：對(duì)角線互相垂直的四邊形，它的中點(diǎn)四邊形是：矩形；矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．
理由：如圖2，∵E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四邊形EMON是矩形，
∴∠MEN=90°，
∴四邊形EFGH是矩形．
故答案為：矩形，菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角形的中位線定理及平行四邊形的判定、矩形、菱形的判定等知識(shí)，正確掌握特殊四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．