Question

7．如圖1，延長(zhǎng)⊙O的直徑AB至點(diǎn)C，使得BC=$\frac{1}{2}$AB，點(diǎn)P是⊙O上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），連結(jié)OP，CP．
（1）∠C的最大度數(shù)為30°；
（2）當(dāng)⊙O的半徑為3時(shí)，△OPC的面積有沒(méi)有最大值？若有，說(shuō)明原因并求出最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)DB，當(dāng)CP=DB時(shí)，求證：CP是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)PC與⊙O相切時(shí)，∠OCP的度數(shù)最大，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得；
（2）由△OPC的邊OC是定值，得到當(dāng)OC邊上的高為最大值時(shí)，△OPC的面積最大，當(dāng)PO⊥OC時(shí)，取得最大值，即此時(shí)OC邊上的高最大，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CPO=∠APB，根據(jù)圓周角定理得到∠APB=90°，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)PC與⊙O相切時(shí)，∠OCP最大．如圖1，所示：
∵sin∠OCP=$\frac{OP}{OC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OCP=30°
∴∠OCP的最大度數(shù)為30°，
故答案為：30°；

（2）有最大值，理由：
∵△OPC的邊OC是定值，
∴當(dāng)OC邊上的高為最大值時(shí)，△OPC的面積最大，
而點(diǎn)P在⊙O上半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PO⊥OC時(shí)，
取得最大值，即此時(shí)OC邊上的高最大，
也就是高為半徑長(zhǎng)，
∴最大值S_△OPC=$\frac{1}{2}$OC•OP=$\frac{1}{2}$×6×3=9；

（3）證明：連結(jié)AP，BP，如圖2，
在△OAP與△OBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOP=∠BOD}\\{OP=OB}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBD，
∴AP=DB，
∵PC=DB，∴AP=PC，
∵PA=PC，∴∠A=∠C，
∵BC=$\frac{1}{2}$AB=OB，
∴CO=OB+OB=AB，
在△APB和△CPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CP}\\{∠A=∠C}\\{AB=CO}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△CPO，
∴∠CPO=∠APB，
∵AB為直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠CPO=90°，
∴PC切⊙O于點(diǎn)P，即CP是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形面積的最值，知道PC與⊙O相切時(shí)，∠OCP最大是解決（1）的關(guān)鍵，知道當(dāng)OC邊上的高為最大值時(shí)，△OPC的面積最大是解決（2）的關(guān)鍵．