Question

10．如圖，直線y=2x與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于點A（m，2）．
（1）求k的值；
（2）將直線y=2x向下平移交y軸于B，交雙曲線于P，△AOP的面積為2，求直線PB的解析式．

Answer 1

分析 （1）把A（m，2）代入直線y=2x求出m=1，得出A（1，2），即可得出結(jié)果；
（2）作AM⊥x軸于M，PN⊥x軸于N，設(shè)P（a，b），則ab=2①，由梯形AMNP的面積得出$\frac{1}{2}$（2+b）（a-1）=2①，由①②求出a和b的值，得出P（1+$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2），設(shè)直線PB的解析式為y=2x+b，把點P坐標代入求出b=-4即可．

解答 解：（1）把A（m，2）代入直線y=2x得：m=1，
∴A（1，2），
∴k=1×2=2；
（2）作AM⊥x軸于M，PN⊥x軸于N，如圖所示：
設(shè)P（a，b），則ab=2，
∵雙曲線y=$\frac{2}{x}$，
∴△AOM的面積=△PON的面積=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵△AOP的面積為2，
∴梯形AMNP的面積=2，即$\frac{1}{2}$（2+b）（a-1）=2①，
由①②得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1+\sqrt{2}}\\{b=2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1-\sqrt{2}}\\{b=-2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$（舍去），
∴P（1+$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2），
∵直線PB與直線y=2x平行，
∴設(shè)直線PB的解析式為y=2x+b，
把點P坐標代入得：2+2$\sqrt{2}$+b=2$\sqrt{2}$-2，
解得：b=-4，
∴直線PB的解析式為y=2x-4．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，兩條直線的平行關(guān)系、坐標與圖形性質(zhì)；求出點P的坐標是解決問題（2）的關(guān)鍵．