Question

已知

x

a

+

y

b

+

z

c

=0，

a

x

+

b

y

+

c

z

=0，求

x2

a2

+

y2

b2

+

z2

c2

的值．

Answer 1

分析：由于已知所給的兩個(gè)式子互為倒數(shù)，所以考慮設(shè)

x

a

=u，

y

b

=v，

z

c

=w，對(duì)已知的條件化簡(jiǎn)，并對(duì)②通分，可得vw+uw+uv=0，再利用公式（u+v+w）²=u²+v²+w²+2（uv+wv+uw），把①和vw+uw+uv=0代入公式即可求
u²+v²+w²=0，即

x2

a2

+

y2

b2

+

z2

c2

=0．

解答：解：令

x

a

=u，

y

b

=v，

z

c

=w，于是有
u+v+w=0，①

1

u

+

1

v

+

1

w

=0②，
由②有，

vw+uw+uv

uvw

=0，
∵u、v、w都不為0，
∴vw+uw+uv=0，
把①兩邊平方得
u²+v²+w²+2（uv+vw+wu）=0，
∴u²+v²+w²=0，
即

x2

a2

+

y2

b2

+

z2

c2

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要利用了字母重設(shè)法，化簡(jiǎn)已知等式，并利用了公式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）．