Question

16．如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)EF分別是邊BC、CD的點(diǎn)，且BE=CF=6．
（1）求證：AE=BF，AE⊥BF；
（2）求四邊形ADFM的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠CBF，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠CBF，求得AE⊥BF，根據(jù)三角形的面積公式得到AE•BM=AB•BE，根據(jù)勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10，得到BM=$\frac{24}{5}$，根據(jù)勾股定理得到AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABE=∠BCF，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：在△ABE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF=90°}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AE⊥BF，
∴AE•BM=AB•BE，
∵AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10，
∴10BM=8×6，
∴BM=$\frac{24}{5}$，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
四邊形ADFM的面積=梯形ABFD的面積-三角形ABM的面積
=$\frac{1}{2}$AD（DF+AB）-$\frac{1}{2}$AM•BM
=$\frac{1}{2}$×8×（2+8）-$\frac{1}{2}$×$\frac{32}{5}$×$\frac{24}{5}$
=$\frac{616}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，梯形和三角形的面積公式，確定出AE與BF所在的三角形并證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．